Buddhabrot

Każdy chyba zna taki fraktal jak zbiór Mandelbrota. W 1993 został znaleziony inny fraktalo-podobny obraz, o wiele moim zdaniem ładniejszy ;)

Zbiór Mandelbrota to zbiór takich liczb zespolonych c, że ciąg z_n definiowany jako
 z₀ = 0
 z_n+1 = (z_n)² + c
nie dąży do nieskończoności przy n -> ∞.

W rzeczywistych rozwiązaniach sprawdza się, czy w określonej liczbie iteracji (np. 1000) ciąg ten nie wykroczy poza okrąg o środku w punkcie (0, 0) i promieniu równym 2 - jeżeli kolejna liczba zespolona w ciągu ma moduł większy niż 2, to wiadomo już, że na pewno dla tej wartości c ciąg z_n dąży do nieskończoności

Kiedy liczby c przedstawimy na płaszczyźnie zespolonej dostaniemy taki oto, znajomy obrazek:

W 1993 pani Melinda Green zadała sobie pytanie:
A co się dzieje z ciągiem z_n, kiedy dąży on do nieskończoności? Jaką ścieżkę przebywa zanim "wyskoczy" na odległość większa niż 2 od środka płaszczyzny?

Odpowiedź jest niezwykle ładna.

Zaczynamy mając zwykłą funkcję potrzebną do zbioru Mandelbrota - zwraca ona nam w której iteracji punkt o współrzędnych (c_x, c_y) "uciekł" z okręgu o promieniu 2:

private static int Mandelbrot(double c_x, double c_y, int max_iter)
{
  double x = 0;
  double y = 0;
  int iter = 0;

  while (x * x + y * y <= 4 && iter < max_iter)
  {
    double xtemp = x * x - y * y + c_x;
    y = 2 * x * y + c_y;
    x = xtemp;
    iter++;
  }
  return iter;
}

Chcąc wygenerować zbiór Mandelbrota bierzemy każdy piksel z ekranu, wyliczamy jego współrzędne na płaszczyźnie zespolonej (czyli (c_x, c_y)) i jeżeli zwrócona liczba iteracji równa jest podanej maksymalnej to kolorujemy na czarno, w innym wypadku wybieramy kolor z palety ;)

Obrazek pani Green tworzymy trochę inaczej:
1. Dla każdej piksela obrazu wynikowego tworzymy licznik, na początku równy 0.

2. Losujemy jakąś liczbę zespoloną c. Nasze losowe (c_x, c_y) powinno znajdować się w odległości nie większej niż 2 od środka układu współrzędnych.

3. Wyliczamy wartość funkcji Mandelbrot dla liczby c i ustalonej z góry maksymalnej liczby iteracji max_iter. Jeżeli liczba c znajduje się w zbiorze Mandelbrota, to idziemy do kroku 5. Jeżeli "wyskoczyła" z niego, to idziemy dalej.

4. Dla liczby zespolonej c i maksymalnej liczby iteracji max_iter wywołujemy funkcję MandelbrotTrace, (zmodyfikowaną funkcję Mandelbrot):

private static void MandelbrotTrace(double c_x, double c_y, int max_iter)
{
  double x = 0;
  double y = 0;
  int iter = 0;

  while (x * x + y * y <= 4 && iter < max_iter)
  {
    UpdateCounters(x, y);
    double xtemp = x * x - y * y + c_x;
    y = 2 * x * y + c_y;
    x = xtemp;
    iter++;
  }
}

Dodane wywołanie funkcji UpdateCounters modyfikuje liczniki ustawione na zero w kroku 1. Dla danego punktu (x, y) ustala który to piksel w obrazie wynikowym i zwiększa odpowiadający mu licznik o 1.

5. Kroki 2-4 powtarzamy ile razy nam pasuje, parenaście milionów da już bardzo dobre efekty.

6. Generujemy obraz wynikowy na podstawie wartości liczników.

Kiedy wybierzemy maksymalną wartość licznika i przyjmiemy jasność tego piksela za 1.0, a reszcie pikseli przypiszemy jasność proporcjonalnie do wartości ich liczników, to... dostaniemy 1 biały piksel i resztę czarnych.

Ale jeżeli jako jasność 1.0 weźmiemy piksel o drugiej największej wartości (ten najjaśniejszy z definicji na 1.0) i tak samo proporcjonalnie przypiszemy jasność reszcie otrzymamy...

Wow. Można to lekko podbarwić Photoshopem czy innym Paint.NET - ja lubię zmodyfikować krzywą dla niebieskiego tak aby przechodziła przez punkt (168, 255):

Obraz ten nazywany jest Buddhabrot. Dlaczego? No cóż...

Ja już mam nową tapetę (http://wojtekm.ovh.org/buddhabrot_wallpaper.jpg) ;)


Obraz ten można generować w paru odmianach. Popularna jest odmiana zwana Nebulabrot:

Obraz nazwano tak, ponieważ przypomina zdjęcia mgławic kosmicznych. A przypomina je, ponieważ jest kolorowany w bardzo podobny sposób do kolorowania tak naprawdę czarno-białych zdjęć astronomicznych. Zamiast jednego zestawu liczników mamy trzy - dla czerwieni, zieleni i błękitu. Każdy z nich wypełniamy podobnie jak w wersji czarno-białej, ale dla różnych kolorów podstawowych stosujemy różną wartość parametru max_iter. Powyższy obrazek powstał dla następujących wartości granicznej liczby iteracji: 1000 dla czerwonego, 400 dla zielonego, 200 dla niebieskiego.

Można też ująć problem jeszcze inaczej. Oryginalnie śledzimy drogę ciągu z_n dla tych wartości parametru c, które nie należą do zbioru Mandelbrota. Anti-buddhabrot powstaje przez śledzenie ciągu dla wartości parametru c należących do zbioru Mandelbrota.

Wadą Buddhabrot i pochodnych jest trudność w ich powiększaniu. Zbiór Mandelbrota można powiększać w nieskończoność, natomiast jedynym sposobem na ujrzenie detali Buddhabrot jest... wygenerowanie większego obrazka.

Wszystkie obrazki fraktali tu zaprezentowane zostały generowane prostym programem w C# mojego autorstwa ;)

Więcej o Buddhabrot: http://en.wikipedia.org/wiki/Buddhabrot